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Parallelschaltung von Widerständen

Parallelschaltung von 2 Widerständen
Das Bild zeigt die Erweiterung eines einfachen Stromkreises zu einem erweiterten Stromkreis, bei dem zwei Widerstände in Parallelschaltung an eine Spannungsquelle angeschlossen sind.
Der Widerstand R1 liegt an der Spannung U. Nach dem Ohmschen Gesetz fliesst durch R1 der Strom

I1=U/R1

Der Widerstand R2 liegt ebenfalls an der Spannung U. Nach dem Ohmschen Gesetz fliesst durch R2 der Strom

I2=U/R2

Die Spannungsquelle muss somit gleichzeitig einen Strom I1 und einen Strom I2 liefern. Bei einer Parallelschaltung von zwei Widerständen ergibt sich daher der Gesamtstrom aus der Summe der Einzellströme

Iges=I1+I2

Wenn in einem erweiterten Stromkreis die Spannung und der fliessende Gesamtstrom bekannt sind, so lässt sich mit Hilde des Ohmschen Gesetzes der vorhandene Gesamtwiderstand Rges berechnen. Dieser Gesamtwiderstand wird auch als Ersatzwiderstand bezeichnet. Dieser Gesamtwiderstand wird auch als Ersatzwiderstand bezeichnet. Unter diesem Ersatzwiderstand ist ein Einzelwiderstand zu verstehen, der anstelle der parallelgeschalteten Widerstände die gleiche Wirkung hat.

Rges=U/Iges

Es gilt also: Bei allen parallel geschaltenen Widerständen ist die angelegte Spannung U gleich gross.
Beispiel

In einem Stromkreis nach nachfollgendem Bild sind die Widerstände R1 = 1.2 kΩ und R2 = 680 Ω an eine Spannungsquelle mit U = 10 V angeschlossen.

Wie gross sind die EInzelströme I1 und I2, der Gesamtstrom Iges und der Ersatzwiderstand Rges dieser Schaltung?
I1 = U/R1 = 12V/(1.2 *10³Ω) = 10*10ֿ³A = 10mA
I2= U/R2 = 12V/680Ω = 0.0176 A = 17.6mA
Iges = I1+I2 = 10mA +17.6mA =27.6mA
Rges = U/Iges=12V/(27.6*10ֿ³A) = 435Ω

Der Gesamtwiderstand von zwei parallelgeschaltenen Widerständen lässt sich aber auch auf folgendem Weg berechnen:

Iges = I1 + I2.

Mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes kann diese Gleichung umgeformt werden zu:

U/Rges = U/R1+U/R2

Werden beide Seiten dieser Gleichung durch U geteil, so lautet die neue Gleichung:

1/Rges = 1/R1+1/R2

Dies Gleichung kann umgestellt werden zu:

Rges=1/(1/R1+1/R2)

Aus diesem Zusammenhang ergibt sich, dass der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung stets kleiner als der kleinste EInzelwiderstand ist.

Folglich kann der Gesammtwiderstand im obigen Beispiel auch follgendermassen errechnet werden:

1/Rges = 1/R1+1/R2 = 1/(1.2*10³Ω)+1/(0.68*10³Ω) = 0.83*10ֿ³1/Ω+1.47*10ֿ³1/Ω
1/Rges = 2.3*10ֿ³*10ֿ³1/Ω
Rges = 1/2.3*10ֿ³1/Ω = 0.435*10³Ω
Rges = 435Ω

Da die Berechnung der Kehrwerte meistens etwas umständlich ist, wird in der Praxis eine andere Formel benutzt:

1/Rges = 1/R1+1/R2 = R1/(R1*R2)+R2/(R1*R2) = (R1+R2)/(R1*R2)

Daraus ergibt sich:

Rges = (R1*R2)/(R1+R2)

Diese Formel lässt sich bei überschlägigen Berechnungen ohne Taschenrechner besser anwenden.

Wird die Formel auf das obige Beispiel angewandt, kommt man diesemal sogar schneller zum Ziel:

Rges = (R1*R2)/(R1+R2) = (1.2*10³Ω*0.68*10³Ω)/(1.2*10³Ω+0.68*10³Ω) = 435 Ω

Alle Formeln nochmal im Überblick:

Parallelschaltung von mehreren Widerständen
Das nebenstehende Bild zeigt einen erweiterten Stromkreis mit beliebig vielen parallelgeschalteten Widerständen.
Die Dastellung im obigen Bild weist darauf hin, dass belibeig viele Widerstände an die gemeinsame Spannung U angeschlossen sein können. Zur Kennzeichnung wird der letzte Widerstand mit Rn bezeichnet. Bei dem Widerstand Rn kann es sich je nach Schaltung also um den fünften, zehnten oder hundertsten Widerstand handeln.
Ausgehend von den Formeln für zwei parallelgeschaltete Widerstände können diese Formeln auf beliebig viele parallelgeschaltete Widerstände erweitert werden. Diese Formeln haben dann für die Parallelschaltung von Widerständen allgemein Gültigkeit, da sie auch den Sonderfall mit zwei Widerständen erfassen. In der unten stehenden Tabelle sind die entsprecjemdem Formeln zusammengefasst.
Beispiel

In einem Stromkreis nach unten stehenden Bild sind fünf Widerstände R1=12kΩ, R2=1.2kΩ, R3=2.7kΩ, R4=680Ω und R5=470Ω parallelgeschaltet und an eine sinusförmige Wechselspannung mit dem Effektivwer U=100V angeschlossen.
Wie gross sind:
a) der Gesamtwiderstand Rges
b) der Gesamtstrom Iges
c) die Einzelströme I1, I2, I3, I4, I5

a)
1/Rges = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + 1/R4 + 1/R5
1/Rges = 1/(12*10³Ω) + 1/(1.2*10³Ω) + 1/(2.7*10³Ω) + 1/(0.68*10³Ω) + 1/(0.47*10³Ω)
1/Rges = 0.083*10ֿ³1/Ω + 0.833*10ֿ³1/Ω + 0.370*10ֿ³1/Ω + 1.471*10ֿ³1/Ω + 2.128*10ֿ³1/Ω
1/Rges = 4.885*10ֿ³1/Ω
Rges = 1/(4.885*10ֿ³1/Ω) = 0.205*10³Ω
Rges = 205Ω

b)
Iges = U/Rges = 100V/205Ω = 0.488A
Iges = 488.6mA

c)
I1 = U/R1 = 100V/12000Ω = 8.3mA
I2 = U/R2 = 100V/1200Ω = 83.3mA
I3 = U/R3 = 100V/2700Ω = 37mA
I4 = U/R4 = 100V/680Ω = 147mA
I5 = U/R5 = 100V/470Ω = 213mA

Probe: Iges = I1+I2+I3+I4+I5 = 488.6mA

Die geringen Abweichungen der Ergebnisse entstehen durch Auf- und Abrundungen.
Sonderfall: Alle Wiederstände sind gleich gross

Für den Fall, wo alle parallelgeschalteten Widerstände gleich gross sind kann das errechnen stark vereinfacht werden.
Wenn alle Widerstände gleich sind gilt:

Iges = n*I

und

Rges = R/n

Wobei n die Anzahl gleicher Widerstände in Parallelschaltung ist.

Beweis:

Gibt es 5 gleiche Widerstände gilt:

1/Rges = 1/R + 1/R + 1/R + 1/R + 1/R
1/Rges = 5/R
Rges = R/5

Beispiel
Alle Widerstände im nebenstehnden Bild sind gleich gross. Um ihren Ersatzwiderstand zu bestimmen dividirt man nur die 2kΩ durch die Anzahl (4)

Rges = 2000Ω/4 = 500Ω