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gemischte Schaltungen

Allgemein

In der Elektronik sind häufige Kombinationen von Reihen- und Parallelschaltung erforderlich. Sie werden als gemischte Schaltungen oder Widerstandsnetzwerke bezeichnet. Nachfolgendes Bild zeigt eine einfache gemischte Schaltung, bei der die Widerstände R1 und R2 in Reihe und die Widerstände R2 mit R3 parallelgeschaltet sind. Eine derartige Schaltung kann als belasteter Spannungsteiler betrachtet werden.
Unbelastete Spannungsteiler

Bei den unbelasteten Spannungsteilern handelt es sich noch um Reohenschaltungen von Widerständen. Beim praktischen Einsatz in Schaltungen tritt aber stets eine Belastung dieser Spannungsteiler auf, so dass dann gemischte Schaltung vorligen. Um die Eigenschaften von Spannungsteilern besser erläutern zu können, werden zunächst nur unbelastete Spannungsteiler betrachtet.

Unbelastete Spannungsteiler mit Festwiderständen

Mit Hilfe einer Reihenschaltung von Widerständen kann die Spannung einer Spannungsquelle auf beliebig kleinere Werte heruntergeteilt werden. Im nachfollgenden Bild sind ein Spannungsteiler für eine Teilspannung sowie ein Spannungsteiler für drei Teilspannungen dargestellt.
Die Spannungen verhalten sich wie die Widerstände, so dass bei einer Reihenschaltung die Verhältnisgleichung

U1/U2 = R1/R2

aufgestellt werden kann. Dieser Sachverhalt gilt auch für das Verhältnis einer Teilspannung zur Gesamtspannung. Für die Schaltung nach obigem Schema (Bild oben links) gilt:

UA/UE = R2/(R1+R2)

Diese Gleichung besagt, dass sich bei einem Spannungsteiler eine Teilspannung zur Gesamtspannung verhält wie der zugehörige Teilwiderstand zum Gesamtwiderstand. Wir die Gleichung UA aufgelöst, so ergibt sich:

UA = UE*[R2/(R1+R2)]

Mit Hilfe dieser Gleichung kann bei vorgegebenen Widerstandswerten für R1 und R2 die Ausgangsspannng UA berechnet werden. ZU erkennen ist aus dieser Gleichung auch, dass bei vorgegebenen Widerständen jede belibeige Eingangsspannung Ue immer im gleichen Verhältnis herabgeteilt wird.
Für die rechte Schaltung im obigen Bild lassen sich folgende Gleichungen aufstellen:

UA1 = UE*(R2+R3+R4)/(R1+R2+R3+R4) = UE*[(R2+R3+R4)/Rges]
UA2 = UE*(R3+R4)/(R1+R2+R3+R4) = UE*[(R3+R4)/Rges]
UA3 = UE*(R4)/(R1+R2+R3+R4) = UE*(R4/Rges)

Beispiel

Ein Spannungsteiler ist gemäss rechte Schaltung im obigen Bild mit den Widerständen R1=1kΩ, R2=2.2kΩ, R3=3.3kΩ und R4=4.7kΩ aufgebaut. Er wird an eine Eingangsspannung UE=10V angeschlossen.
Wie gross sind die Spannungen UA1, UA2 und UA3?

Rges = R1+R2+R3+R4 = 1kΩ+2.2kΩ+3.3kΩ+4.7kΩ = 11.2kΩ

UA1 = UE * [(R2+R3+R4)/Rges] = 10V*[(2.2kΩ+3.3kΩ+4.7kΩ)/(11.2kΩ)] = 10V*(10.2kΩ/11.2kΩ)
UA1 = 9.1 V

UA2 = UE * [(R3+R4)/Rges] = 10V*[(3.3kΩ+4.7kΩ)/(11.2kΩ)] = 10V*(8kΩ/11.2kΩ)
UA2 = 7.14V

UA3 = UE * (R4/Rges) = 10V*(4.7kΩ/11.2kΩ)
UA3 = 4.2V

Häufig ist die Aufgabe gestellt, eine vorhandene Spannung auf einen bestimmten Spannungswert herunterzuteilen. Die Berechnung der hierfür erforderlichen Widerstandswerte kann mit den vorher angegebenen Formeln erfolgen.

Beispiel

Für den Betrieb einer elektronischen Schaltung ist eine Wechselspannung UA=4V erforderlich. Zur Verfügung steht nur eine Wechselspannung UE = 12.6V.
Welchen Wer mudd der Widerstand R1 des Spannungsteilers nach unten folgendem Bild haben, damit eine derartige Spannungsteilung erreicht wird?
UA/UE = R2/(R1+R2)

Diese Gleichung muss nach R1 aufgelöst werden:

R1+R2 = (UE/UA)*R2
R1 = (UE/UA)*R2 - R2
R1 = (12.6V/4V)*470Ω - 470Ω
R1 = 1010.5Ω

Da es in den gebräuchlichen Normreiehn keine Widerstände mit dem Widerstandswert 1010.5Ω gibt, muss für R1 ein Widerstand mit dem nächstliegenden Wert R=1kΩ verwendet werden. Hierdurch ergibt sich dann eine geringfügige Abweichung von der gewünschten Ausgangsspannung.

Kontrolle

UA = UE*[R2/(R1+R2)] = 12.6V *(470Ω/1470Ω) = 4.03V

Die geringfügige Abweichung von 30mV ist bei diesem Spannungsteiler durchaus vertretbar. Sie liegt ohnehin in dem Toleranzbereich, der durch die Verwendung von Normwiderständen gezeichnet ist.

Mit Festwiderständen lassen sich Spannungen nur Stufenweise in grösseren Schritten herunterteilen. Durch die Vewendung von veränderbaren Widerständen, die auch als Potentiometer bezeichnet werden, ist jedoch auch eine kontinuierlich veränderbare Spannungsteilung möglich. Dadruch liessen sich die die geringfügigen Abweichungen ausschliessen.
Belastete Spannungsteiler

Bei unbelasteten Spannungsteilern ist am Ausang des Spannungsteilers kein Widerstand als Belastung angeschlossen. Es handelt sich hierbei um einen Idealfall, der in der Paxis nur selten auftritt. Bereits der Anschluss eines hochohmigen Mussinstrumentes zur Messung der Ausgangsspannung stellt eine Belastung des Spannungsteilers dar und führt zu einer Veränderung der Spannungs- und Stromverhältnisse.

Belasteter Spannungsteiler mit Festwiderständen

Das unten stehende Bild zeigt einen Spannungsteiler aus R1 und R2, an dessen Ausgang ein Widerstand R3 als Belastung angeschlossen ist.
Bei dem belasteten Spannungsteiler nach obigem Bild sind die Widerstände R2 und R3 parallelgeschaltet, Zu dieser Parallelschaltung liegt R1 in Reihe. Durch die Parallelschaltung von R3 ändert sich die Ausgangsspannung UA gegenüber der Ausangssptannung des unbelasteten Spannungsteilers. SIe wird in jedem Fall kleiner, weil auch der Ersatzwiederstand R2’ niederohmiger als R2 wird.
Für die Ausgangsspannung des belasteten Spannungsteilers gilt:

UA/UE = R2/(R1+R2) -> UA = R2/(R1+R2)

Für die Ausgangsspannung des belasteten Spannungsteilers gilt:

U’A/UE = R2’/(R1+R2’) -> U’A = UE * [R2’/(R1+R2’)]

Der Widerstandswert von R2’ lässt sich nach den Gesetzen für die Parallelschaltung berechnen.

R2’ = R2 || R3 = (R2*R3)/(R2+R3)

Hinweis: || steht für "parallel zu" so ergibt sich R2 || R3 = R2 parallel zu R3

Wird R2’ in die Gleichung für U’A eingesetz, so ergibt sich bereits eine recht komplizierte Formel.

U’A = UE * [(R2*R3)/(R2+R3)] / [R1+(R2*R3)/(R2+R3)]

Es ist in solchen Fällen einfacher, zunächst R2’ zu berechnen und diesen Wert dann in die Gleichung für die Ausgansspannung U’A einzusetzen.

Widerstandsnetzwerke

Als Widerstandsnetzwerke werden umfangreiche Kombinationen von Widerständen bezeichnet. Auftreten können dabei kombinierte Reihen- und Parallelschaltungen unterschiedlichster Art. Die Berechnung erfolgt schrittweise. In der Paxis sind aber Widerstandsnetzwerke in den meisten Fällen vorgegeben. Zu ermitteln sind dann bestimme Spannungen, Ströme oder der Ersatzwiderstand des Netzwerkes. Dies erfolgt in der Regel druch ein schrittweises Zusammenfassen und Vereinfachen der Kombination.

Vereinfachen von Widerstadsnetzwerken

Das nachfolgende Bild zeigt die Zusammenschaltung von 7 Widerständen zu einem Widerstandsnetzwerk. Um den Ersatzwiderstand zu bestimmen, erfolgt eine Zusammenfassung und Vereinfachung in vier Schritten.
1. Schritt: Zusammenfassung von R6 und R7 zum Ersatzwiderstand R6' (Parallelschaltung)
2. Schritt: Zusammenfassung von R4, R5 und R6' zu R4' (Reihenschaltung)
3. Schritt: Zusammenfassung von R3 und R4' zu R3' (Parallelschaltung)
4. Schritt: Zusammenfassung von R1, R2 und R3' zu Rges (Reihenschaltung)

Wegen der Vielzahl der Kombinationsmöglichkeiten gibt es keine festen Regeln für das Vereinfachen von Widerstandsnetzwerken. Daher muss in jedem Schaltbild zunächst ein günstiger Weg für die Zusammenfassung der Widerstände erkannt werden.

Beispiel

Ein Widerstandsnetzwerk aus 9 Widerständen entsprechend dem unteren Bild aufgebaut. Es wird an einer Eingangsspannung von UE=10V betrieben.
Wie gross sind
a) Der Ersatzwiderstand Rges dieses Netzwerks?
b) Der Strom I?
c) Die Spannung U3?
d) der Strom I3?
a)
1. Schritt: Reihenschaltung von R7, R8 und R9
R7' = R7+R8+R9 = 1000Ω+820Ω+1200Ω = 3020Ω

2. Schritt: Parallelschaltung von R6 und R7'
R6'= (R6*R7')/(R6+R7') = (3300Ω*3020Ω)/(3300Ω+3020Ω) = 1577Ω

3. Schritt: Reihenschaltung von R4, R5 und R6'
R4' = R4+R5+R6' = 2700Ω+1500Ω+1577Ω = 5777Ω

4. Schritt: Parallelschaltung von R3 und R4'
R3' = (1000Ω*5777Ω)/(1000Ω+5777Ω) = 852Ω

5. Schritt: Reihenschaltung von R1, R2 und R3'
Rges= R1+R2+R3' = 4700Ω+8200Ω+852Ω = 13.752kΩ

b)
I = UE/Rges = 10V/13752Ω = 0.727*10ֿ³A = 0.727mA

c)
U3/UE = R3'/(R1+R2+R3')
U3 = UE*[R3'/(R1+R2+R3')] = 10V*(852Ω/13752Ω) = 0.62V

d)
I3 = U3/R3 = 0.62V/1000Ω = 0.62mA